Opakování učiva matematiky ve čtvrtém ročníku gymnázia

Jaroslava Škrobánková

Byl konec dubna, vrcholila příprava studentů k maturitě. S maturanty pilně a do hloubky opakuji celé učivo matematiky. Ale co s nematuranty? Mám je nutit do matematiky, když mají dost práce se svými maturitními předměty? Mám nápad. Budou opakovat sami. Úkol zní: Sepište, o čem jsme se letos učili, co vám toto učivo přineslo užitečného a jakýkoliv další komentář, který vás napadne. Vezměte si na pomoc své sešity, učebnice, sbírky, přehledy učiva matematiky.

Někteří studenti vypisovali učivo, vzorce a jejich komentář se týkal využitelnosti v praxi nebo toho, zda se jim učivo zamlouvalo nebo ne. Většina se však zabývala učivem jako celkem, jen výjimečně psali o řešených příkladech (např. z finanční matematiky) a skoro vždy dokázali vystihnout podstatu učiva. Některé práce byly vtipné, z jiných bylo zřetelné jejich zaujetí pro určitou oblast matematiky (např. statistika). Přímo jsem cítila, jak je některé části učiva oslovily a jiným moc neporozuměli. Měla jsem velkou radost z tohoto výroku: „Přestože jsem neměla jinou možnost a musela navštěvovat matematiku, dalo se to s Vámi vydržet.“

Studenti také psali o tom, co je příliš nebavilo, čemu moc neporozuměli, kde nevěděli, proč se to učí. Důležité bylo i toto pochopení ze strany studenta: „Tomuto učivu jsem nerozuměl, protože jsem se nenaučil základní poznatky a taky jsem nechodil pořádně do školy.“

Z jejich prací jsem usoudila, že písemná reflexe je přinutila zamyslet se nad probranou látkou a že byla pro ně užitečnější než počítání konkrétních příkladů, které by je nebavilo. Každý mohl pracovat svým tempem, podívat se na problém svýma očima. Každý se musel zamyslet nad každým oddílem probraného učiva a nemohl nic ošidit.

Se studenty jsem jejich práce rozebrala, některé jsme si přečetli, jiné jsem k přečtení doporučila. Také jsem jim poděkovala za to, že nikdo z nich práci neodbyl a k vypracování přistoupili zodpovědně. Proto jsem tentokrát všechny práce hodnotila kladně a zastavila se jen u podstatných chyb. Nejvíce jsem si cenila prací, které vlastními slovy, bez vzorců a složitých příkladů vystihovaly podstatu učiva a obsahovaly vlastní postoj k problému. Několik prací bylo z matematického hlediska bez chyby, ale naprosto neosobních. I u těch jsme se zastavili a diskutovali o tom, jak a hlavně proč zaujmout čtenáře.

Ze studentských textů jsem čerpala poučení i pro svou další práci. Většinou je psali ti, kteří se matematikou prokousávali s většími obtížemi, a já lépe pochopila, co jim bylo nesrozumitelné a proč.

Byl to můj první pokus s takovým zadáním a dostavilo se příjemné překvapení z výsledku. Myslím, že svůj pohled na učivo mají žáci v každém ročníku, a proto letos práci zadám i v nižších ročnících a po kratším úseku probraného učiva. Ne až za celý rok.

Ukázka seminární práce ze třídy J. Škrobánkové

Lenka Štrublíková

Gymnázium Vítkov

Úvod

Při zpracovávání své práce jsem používala sešity z matematiky ze čtvrtého ročníku a příslušné učebnice. Každý sešit i učebnici jsem pečlivě prolistovala, abych si znovu připomenula všechna témata, která jsme za celý rok probírali. Je celkem logické, že jsem toho za tu dobu poměrně dost zapomněla, a tak jsem docela uvítala tu možnost oživit si všechno znovu v paměti. Také jsem se musela zamyslet nad koncepcí práce a nad způsobem jejího zpracování. Práci mám rozdělenu na osm hlavních kapitol.

Vlastní práce

Matematická indukce

Matematickou indukcí dokazujeme matematické věty týkající se přirozených čísel. Například zda se součet všech n sudých přirozených čísel rovná n(n+1), kde n je přirozené číslo. Nejdůležitější zde bylo zapamatovat si postup řešení, zbytek bylo jednoduché počítání.

Posloupnost

Je to funkce, která je definována na množině přirozených čísel, oborem hodnot mohou být všechna reálná čísla. Je dána vzorcem pro n-tý člen, rekurentním vzorcem nebo výčtem prvků. Grafem posloupnosti je množina izolovaných bodů.

Když znám dva libovolné členy nebo jeden člen a diferenci aritmetické posloupnosti, můžu tak vypočítat zbylé členy této posloupnosti. Můžu také určit, jestli je posloupnost rostoucí, či klesající. Stejně tak v geometrické posloupnosti, jenom s tím rozdílem, že místo diference je kvocient q.

Dá se také zjistit, jakou cenu bude mít euro za x let, když znám jeho nynější cenu a procenta, která se ročně z ceny odepisují.

Nekonečná řada se používá třeba k převodu desetinných čísel na zlomky.

Kombinatorika

Toto učivo mi připadalo nejtěžší, ale na druhé straně nejužitečnější a nejlépe uplatnitelné v běžném životě. U každého příkladu jsem musela nejdřív přemýšlet, zda se jedná o variace, kombinace či permutace, a ještě zjistit, jestli jsou s opakováním nebo bez. Procvičila jsem si logické myšlení a uvažování.

Učivo mi připadalo velice zajímavé.

Nejobtížnější, ale zároveň nejdůležitější bylo přijít na typ příkladu – tzn. poznat a rozlišit variace, permutace, kombinace s opakováním nebo bez.

Pomocí binomické věty jsme počítali mocniny součtu. Přestože někteří mí spolužáci si s ní nevěděli rady a říkali, že jí nerozumí, mně se naopak zdála velice jednoduchá.

Pravděpodobnost

Pravděpodobnost jevu se vypočítá podílem příznivých a všech možných výsledků pokusu. Pohybuje se od 0 do 1, kdy nemožný jev má pravděpodobnost 0 a jev jistý 1.

Většinou jsme počítali pravděpodobnost na příkladech s kostkami a mincemi. Když jsem pak se sestrou hrála „Člověče, nezlob se“ a řekla jí, s jakou pravděpodobností hodí šestku, nevěřícně se na mě podívala a nemohla uvěřit, že se to dá vypočítat.

Kdo ví? Možná, že pravděpodobnost využiji ještě před maturitou, kdy budu chtít spočítat, s jakou pravděpodobností si vylosuji otázku, kterou neumím. Teď jenom doufám, že to bude jev nemožný.

Dále jsme se učili vypočítat pravděpodobnost jevu opačného, který vzniká negací.

Statistika

Před tím, než jsme mohli přejít na počítání příkladů ze statistiky, museli jsme se naučit nové výrazy – pojmy. Například: Co je to statistický soubor, jednotka, znak, četnost.

Měli jsme za úkol přečíst si příklady v učebnici a na jejich základě pak vypracovat domácí úkol, kde jsme ze zvoleného diagramu měli zjistit aritmetický průměr, průměrný přírůstek, průměrné tempo růstu, modus znaku x, medián znaku x, rozptyl a směrodatnou odchylku.

Tohle je další učivo, jehož znalost určitě využiji v budoucnosti. Setkáváme se s ní totiž každý den při čtení novin či sledování televize, například v různých průzkumech týkajících se počtu voličů jednotlivých politických stran.

Komplexní čísla

Komplexní číslo je uspořádaná dvojice reálných čísel, kde první složce se říká reálná část a druhé složce imaginární část. Komplexní číslo se dá taky napsat v algebraickém tvaru. Učili jsme se počítat s imaginárními čísly – sčítat, odčítat, násobit i dělit, počítali jsme rovnice. Převáděli jsme také čísla z goniometrického tvaru na algebraický a naopak. Pomocí Moivreovy věty jsme umocňovali komplexní jednotku přirozeným číslem. Nakonec jsme řešili kvadratické rovnice s reálnými a komplexními koeficienty a binomické rovnice.

Tohle učivo mě, přiznám se, moc nebavilo, protože v něm nevidím žádné konkrétní využití do budoucna, žádné uplatnění. Těžko se mi učí něco, když pořádně ani nevím, k čemu to slouží.

Derivace funkce

Ještě před tím, než jsme derivace začali probírat, mě každý děsil, že je to nejtěžší učivo z matematiky, a líčili mi ho v těch nejtmavších barvách. Teď ale nemůžu říci, že to bylo až tak složité, a rozhodně tím nebudu strašit mladší studenty.

Důležité bylo zapamatovat si všechny vzorečky pro počítání s derivacemi. Bez nich bych se neobešla, proto jsem byla ráda, že „nematuranti“ z matematiky si je mohli napsat na papír a používat jej při počítání. Pomocí derivací jsme řešili příklady typu: Který pravoúhelník má při daném obsahu nejmenší obvod? A podobně.

Vím, že derivace se uplatňují i v jiných oborech, ne jenom v matematice. V chemii se například používají pro výpočet rychlosti reakce.

Integrály

Stejně jako u derivací, tak i u integrálů bylo pro výpočty důležité znát vzorce.

Nejtěžší pro mě byly příklady, kde jsem měla vypočítat obsahy různých obrazců omezených přímkami a křivkami.

Integrály se dají použít i u důkazů vzorců pro objemy a povrchy těles.

Závěr

Naši práci jsme měli zpracovat formou zamyšlení se nad celým průběhem letošního roku. Díky ní jsem si mohla znovu vzpomenout na všechny příklady, připomenout si postupy a zamyslet se nad svým vlastním pocitem z celé matematiky 4. ročníku. Myslím si, že i když toho časem hodně zapomenu, budu aspoň vědět, o co se jedná, že něco takového existuje a dá se to vypočítat.

Autorka je učitelka matematiky, lektorka KM.

Jak o příspěvku J. Škrobánkové smýšleli někteří členové redakční rady Kritických listů:

  1. myslím, že text ukazuje, že KM má svůj prostor ve všech předmětech (a smysluplný!),
  2. myslím, že to vše ukazuje, že i matematika může naše mladé rozvíjet jako lidi,
  3. myslím, že to může ukázat dalším učitelům, že není třeba se příliš nechat svazovat rigidními pravidly pro školní práci,
  4. myslím, že to je práce v duchu „reflective practice“, což je přesně to, co potřebujeme,
  5. myslím, že Jarka je skvělá učitelka a tohle je jen další potvrzení mého dojmu.

Petr Novotný

Středoškolská matematika je těžká, ale stejně těžká může být matematika i pro některé základoškolské žáky. Vyjádřit podstatu souvislostí v matematice svými slovy bez vzorečků a ještě k tomu říct, k čemu mám jako student větší přilnavost a k čemu menší, kde vidím možnosti praktického využití, to se mi zdá jako velmi uspokojivý a inspirativní výsledek práce v matematice.

Hana Košťálová

Text hezky ukazuje, jak se učitelka osvobodila od představy, že všichni musejí dělat matiku.

Ondřej Hausenblas

Paní učitelka vyvinula novou techniku RWCT, kterou bychom mohli pracovně nazvat „kritické uvažování nad nematuritním učivem“.

Kamila Bergmannova

Navigátor
Chci se podívat na:
Chci vyhledat:
Právě se nacházíte na:
homepage KM
Kritické listy

[ukázat mapu celého webu]
Kritické listy
Čteme s porozuměním


E-infosíť
Přihlášení do e-mailové infosítě Vám zaručí zasílání novinek a aktualit přímo na Váš e-mail. (více informací)
jméno:
e-mail:
cislo:
zde napište: 531
 
Je již přihlášeno 2334 lidí.
Projekt ESF
Investice do rozvoje vzdělávání

Ostatní

Licence Creative Commons
Kritické myšlení, jejímž autorem je Kritické myšlení, o.s., podléhá licenci Creative Commons Uveďte autora-Neužívejte dílo komerčně-Nezasahujte do díla 3.0 Česko .
Vytvořeno na základě tohoto díla: www.kritickemysleni.cz