Jde v matematice nemyslet?

Filip Roubíček

Otázka připouštějící možnost nemyslet v matematice jako titul článku, který se zabývá využitím metod rozvíjení kritického myšlení ve vyučování matematice na základní škole, může působit přinejmenším podivně. Otázka je to ale nadmíru aktuální, protože tam, kde není (kritické) myšlení, nebývá ani porozumění. Domnívám se, že příčiny didaktických problémů, s nimiž se v současné škole setkáváme, je třeba hledat v metodách, které ve vyučování matematice používáme. Hejný a Kuřina ve své knize Dítě, škola a matematika (2001, s. 162) uvádějí: „Matematické vzdělávání bude užitečné a smysluplné, bude-li rozvíjet a pěstovat schopnost samostatného a kritického myšlení. Ačkoli matematika poskytuje k rozvíjení myšlení dost příležitostí, nejsou v současné praxi tyto možnosti vždy využívány v důsledku formálních přístupů k matematice.“ Tradiční vyučovací metody povětšinou činí z žáků pasivní příjemce hotových poznatků a k samostatnému myšlení – a tím i porozumění – je příliš nepodněcují. Jednu z alternativ k tradičnímu přístupu vidím v užití metod, s kterými jsem se seznámil v kurzu Čtením a psaním ke kritickému myšlení.

Myšlenka, že „jakákoli znalost má význam jen tehdy, tvoří-li součást smysluplného kontextu – a pokud je možno ji tvořivě využít pro řešení praktických životních situací…“ (Steelová, Meredith, Temple, Walter, 1997, s. 3), je jednou z těch, které jsou v kurzu Čtením a psaním ke kritickému myšlení uplatňovány. První předpoklad v této citaci je srozumitelný a obecně přijatelný, zatímco druhý předpoklad, v němž se hovoří o praktické využitelnosti, může vést v případě matematického vzdělávání k určitým pochybnostem. V době nevídaného rozvoje informačních technologií se stále zřetelněji ukazuje, že argumentace smyslu matematiky jejími praktickými užitími vede do slepé uličky, neboť žáci si uvědomují, že počítače tuto roli matematiky přejímají. Veřejnost byla tak dlouho přesvědčována o mnohostranné použitelnosti matematiky v nejrůznějších oborech lidské činnosti, až uvěřila tomu, že právě v praktických užitích spočívá smysl matematiky (Vopěnka, 2002). Je naivní si myslet, že všechny matematické znalosti, kterých žák nabude, mají praktické uplatnění v životních situacích, a přesto nelze tvrdit, že nemají žádný význam. Problém tkví v tom, že praktické uplatnění z pohledu žáka základní školy postrádají některé dílčí matematické znalosti, nikoli však jejich konzistentní soubor jako základ matematického poznání. Výše uvedené tvrzení se tedy zdá pravdivější, když slovo „znalost“ nahradíme slovem „poznání“, které má širší a hlubší význam.

Dále je důležité zmínit, že matematické vzdělávání je přínosem pro praktický život tehdy, jsou-li získané znalosti funkční. Praxe však ukazuje, že právě tato podmínka nebývá splněna. Žák sice zná pojmy, pravidla nebo postupy řešení, ale nerozumí jim – jeho znalosti jsou formální. Příčiny formalismu, který představuje v současnosti jeden z velice závažných problémů matematického vzdělávání, je třeba hledat v přílišném zdůrazňování obsahové stránky vyučovacího procesu. „Dva odporující si cíle vyučování (nejen matematice) – naučit žáky rozumět učivu a splnit náročné osnovy – tvoří bludný kruh, který je příčinou formalismu většiny znalostí žáků všech typů škol.“ (Hejný a Kuřina, 2001, s. 126–127) Je třeba si uvědomit, že méně někdy znamená více a že pokud bude úroveň matematického vzdělání nadále posuzována na základě kvantitativních, na místo kvalitativních hledisek poznání, jak je patrné například z koncepce přijímacích zkoušek na střední školy, nepodaří se vytvořit příznivé podmínky pro rozvoj matematických kompetencí.

Konstruktivistický přístup, který je současným trendem (zatím spíše na akademické úrovni) ve vyučování matematice, představuje ideový základ metod rozvíjení kritického myšlení (dále jen metody KM). Tyto metody a metody, jež jsou používány ve vyučování matematice vedeném v duchu konstruktivismu, se vyznačují mnoha společnými rysy. Přesto se domnívám, že ne všechny metody, s nimiž jsem se v základním kurzu Čtením a psaním ke kritickému myšlení seznámil, lze ve vyučování matematice plně uplatnit. Psaní a čtení (v přirozeném jazyce) jsou totiž ve vyučování matematice zastoupeny v podstatně menší míře než v jiných předmětech. Matematika je výjimečná tím, že používá celou řadu různých znakových systémů reprezentace, což má vliv na podobu aktivit, jimž se žáci ve vyučování věnují. Z tohoto důvodu jsou některé metody KM nevhodné pro vyučování matematice (nevyhovují potřebám matematického poznávání) a je nutné je modifikovat. Přirozený jazyk je třeba nahradit nebo doplnit jinými znakovými systémy a místo psaní zařadit, zejména v geometrii, kreslení a modelování.

Hlavní přínos kurzu Čtením a psaním ke kritickému myšlení pro svou práci učitele vidím nejen v metodách a technikách, s nimiž jsem se v kurzu seznámil, ale zejména v třífázovém modelu procesu učení (Košťálová, 2003, s. 25–34). Přesvědčil jsem se, že model E-U-R, tvořený fází evokace (E), fází uvědomění si významu (U) a fází reflexe (R), je opravdu univerzální a že jej lze uplatnit i ve vyučování matematice. Jeho použití však vyžaduje některé metody upravit anebo vymyslet nové. Některým z těch, které jsem použil v hodinách matematiky v sedmém ročníku při probírání geometrického tématu Čtyřúhelníky, se věnuji v následujícím textu. Metody jsou sice řazeny podle fází modelu E-U-R, ale netvoří konzistentní celek. Tam, kde se mi zdálo, že hovořit o „metodě“ je příliš nadnesené, jsem použil označení „technika“, případně „aktivita“.

Jednou z aktivit, jež patří do fáze evokace a která bývá ve vyučování matematice často používána, je rozcvička. Geometrická rozcvička může spočívat ve vypracování několika úkolů typu: „Narýsujte ve čtvercové síti kosočtverec a barevně vyznačte jeho úhlopříčky…“ nebo „Načrtněte lichoběžník a vyznačte, které jeho strany jsou rovnoběžné…“ U žáků tím rozvíjíme nejen dovednost vyjádřit obrázkem danou geometrickou situaci, ale také prověřujeme jejich geometrickou představivost a znalost geometrické terminologie. Pro zjištění žákovských prekoncepcí (Čáp, Mareš, 2001, s. 422) a míry porozumění pojmům je vhodnější použít metodu volného psaní, například „Napište, co víte o…“ nebo „Popište, co se vám vybaví, když se řekne…“, případně sestavovat věty či souvětí z klíčových slov, která se vztahují k probíranému tématu. Všechny uvedené metody mají poměrně vysokou výpovědní hodnotu a přitom jsou univerzální a nenáročné na přípravu.

Další techniky použitelné ve fázi evokace jsou ryze geometrické a vycházejí z předpokladu, že geometrický pojem lze evokovat prostřednictvím obrázku (vizuální reprezentace) nebo modelu (vizuálně taktilní reprezentace). Používání těchto prostředků ve vyučování geometrii považuji za klíčové v prevenci formalismu. Příkladem je technika nazvaná Okem geometra. Její podstatou je geometrická interpretace vizuálního vjemu. Žáci mají za úkol nejprve si pozorně prohlédnout obraz a potom napsat, jak by tento obraz geometricky pojmenovali, a zdůvodnit, proč právě tak. Obraz, který jsem použil pro evokaci pojmu čtyřúhelník, byl sestaven z deseti různobarevných čtyřúhelníků (viz obr. 1). Čtyřúhelníky jsem volil tak, aby byly zastoupeny všechny základní typy čtyřúhelníků, s nimiž se mají žáci seznámit a které se mají naučit rozeznávat. Navíc celý obraz měl tvar čtverce, čímž jsem chtěl demonstrovat jistou výjimečnost čtverce jako pravidelného čtyřúhelníku.

Právě slovo čtverec žáci často použili pro pojmenování obrazu, a to většinou ve spojení s nějakým přívlastkem, např. trojbarevný, mnohobarevný, různobarevný, s různě vybarveným vnitřkem, mnohoobrazný, z mnoha obrazců, rozložený, složený, sestavený z mnoha geometrických útvarů, který má v sobě mnoho čtyřúhelníků. Objevila se však i pojmenování jako čtvercová čtyřúhelníková mozaika, čtyřhranný obraz nebo zcela originální novotvary mnohoútvarník či desetičtyřúhelník. Zdůvodnění většinou korespondovala s uvedeným pojmenováním, například: „Podle mě je to čtverec. Přijde mi, že má všechny strany stejně dlouhé.“ – „Trojbarevný čtverec, protože je vybarven čtyřúhelníky, které mají modrou nebo zelenou nebo oranžovou barvu.“ – „Čtverec, který se skládá z různých geometrických obrazců. Zvláštní je, že jsou to čtyřúhelníky.“ – „Čtvercová čtyřúhelníková mozaika – je to mozaika sestavená z různých čtyřúhelníků – čtvercová, protože má tvar čtverce.“ – „Čtyřhranný obraz. Protože každý obraz ve čtverci má 4 hrany a čtverec, do kterého jsou poskládané ostatní čtyřúhelníky, má taky čtyři hrany.“ – „Desetičtyřúhelník – má deset čtyřúhelníků – všechny jsou v jednom čtverci – obrazce mají různé tvary.“

Jinou evokační technikou založenou na geometrické interpretaci vizuálního vjemu je geometrická mozaika. Geometrickou mozaikou se rozumí obraz, který je sestaven z geometrických útvarů a jenž v sobě skrývá určitý objekt. Cílem je objevit skrytý objekt vybarvením části mozaiky na základě daného klíče. Žáci například dostali mozaiku na obr. 2a a měli za úkol vybarvit všechny rovnoběžníky a lichoběžníky (tj. klíčem k objevení skrytého objektu byla klasifikace čtyřúhelníků, resp. mnohoúhelníků).

V případě mozaiky na obr. 2a bylo skrytým objektem slovo konstrukce, jak je znázorněno na obrázku 2b, neboť uvedená mozaika byla použita v evokační fázi hodiny zaměřené na konstrukce rovnoběžníků a lichoběžníků. Je třeba poznamenat, že aktivity tohoto typu zaujmou i velmi slabé žáky a že správnost řešení si mohou žáci sami snadno ověřit. Žáky, kteří by byli s vybarvováním mozaiky hotovi dříve než ostatní, můžeme zaměstnat například úkolem: „Spočítejte, kolik je v mozaice rovnoběžníků a kolik lichoběžníků.“

K propojení planimetrických a stereometrických poznatků je důležité používat trojrozměrné modely i v hodinách věnovaných planimetrii. Pojem čtyřúhelník může být evokován nejen pomocí obrázku, jak bylo ukázáno výše, ale i prostřednictvím několika modelů těles, z kterých lze sestavit modely reálných objektů, například domů (viz obr. 3). K tomuto účelu používám stavebnici sestávající z modelů hranolů, jehlanů a těles z nich složených. Skupina žáků nejprve sestaví model domu (případně ještě nakreslí jeho pravoúhlé průměty) a potom geometricky popíše tvar jeho stěn. Následuje diskuse o tom, které geometrické útvary (například čtyřúhelníky) žáci identifikovali. Stavebnici lze využít také později při počítání obvodů a obsahů čtyřúhelníků a v mnoha dalších geometrických tématech. Mezi metody, které jsou dobře uplatnitelné ve vyučování matematice pro fázi uvědomění si významu, zejména při zavádění nové terminologie a řešení slovních úloh, patří I. N. S. E. R. T., V-CH-D, Zpřeházené věty. Jistou obtíž v užití těchto metod představuje volba vhodného textu, neboť použitelných pramenů je málo. Vzhledem k tomu, že jsou tyto metody popsány v příručkách ke kurzu Čtením a psaním ke kritickému myšlení a není zapotřebí je modifikovat pro vyučování matematice, považuji za zbytečné se jim více věnovat. Pozornost raději zaměřím na aktivitu, která má především v geometrii (ale nejen v ní) rozmanité uplatnění, a tím je modelování.

Při modelování žáci získávají nejen konkrétnější představu o geometrických útvarech, ale také zkušenosti, které mohou později uplatnit při řešení konstrukčních či metrických úloh. V hodině věnované klasifikaci čtyřúhelníků žáci modelovali pomocí 2, 3 nebo 4 pravoúhlých trojúhelníků vystřižených z barevného papíru různé čtyřúhelníky (viz obr. 4). Jejich úkolem bylo najít všechny navzájem různé čtyřúhelníky, které lze z daných trojúhelníků sestavit, potom modely čtyřúhelníků nalepit na arch papíru a ke každému z nich napsat, zda jde o rovnoběžník, lichoběžník, nebo různoběžník. Práce, které žáci při této aktivitě vytvořili, byly využity v následujících hodinách při určování vlastností čtyřúhelníků.

V jedné z hodin věnovaných vlastnostem čtyřúhelníků jsem použil metodu expertních a domovských skupin. Žáci se nejprve rozdělili do skupin pomocí karet s geometrickými pojmy. Každý žák dostal kartu, na níž byl uveden jeden geometrický útvar (například střed kružnice, úhlopříčka, osa úsečky, deltoid apod.), a měl za úkol najít na tabulích rozmístěných v učebně nadřazený pojem (například bod, úsečka, přímka, mnohoúhelník apod.). Po rozřazení napsala každá skupina větu vyjadřující to, co spojuje dané geometrické útvary. Například žáci s kartami úhlopříčka čtverce, hrana krychle, těžnice trojúhelníku, základna lichoběžníku, strana kosodélníku ve skupině ÚSEČKA napsali: „Jsou ohraničené.“ Takto vytvořené skupiny představovaly domovské skupiny, rozdělení do expertních skupin proběhlo podle čísel na kartách. Každá ze čtyř expertních skupin se zabývala jedním okruhem vlastností čtyřúhelníků (1 – strany, 2 – vnitřní úhly, 3 – úhlopříčky, 4 – souměrnost), a to na základě pracovního listu s otázkami, který dostal každý žák. Každá skupina měla k dispozici jeden nebo dva listy s modely čtyřúhelníků, které vytvářely v předcházející hodině. V domovských skupinách pak žáci vytvářeli přehled vlastností jednotlivých typů čtyřúhelníků. K tomuto účelu dostali pracovní list s tabulkou. K jejímu vyplňování žáci používali nejen své písemné záznamy z expertních skupin, ale rovněž učebnice a další materiály.

Z metod doporučovaných pro fázi reflexe se mi ve vyučování matematice osvědčil Pětilístek. Někdy však bylo třeba jej upravit, neboť k abstraktním geometrickým pojmům žáci jen obtížně nacházeli vhodná slovesa. Tedy například ke slovu rovnoběžník nebo lichoběžník žáci nepsali „co dělá“, ale „co má“ (ve smyslu charakteristické vlastnosti): „Rovnoběžník – je rovnoběžný, pravoúhlý – má 4 strany, 4 vrcholy, 4 vnitřní úhly – rovnoběžník je konvexní čtyřúhelník – čtverec…“ – „Lichoběžník – je konvexní a pravoúhlý – má strany, ramena a dvojici rovnoběžných stran – je to konvexní čtyřúhelník – liché číslo“. Pětilístku jako techniky si cením zejména proto, že vypovídá mnohé o kvalitě žákovy představy a úrovni porozumění či užívání termínů. Vhodné jsou také techniky spočívající v dokončování vět nebo hledání slov (vět), která se vztahují k probíranému tématu a začínají písmeny klíčového slova (například „K konstrukce, O bod, N náčrtek, S strana, T bod, R rovnoběžník, U úhel, K konstrukce, C bod, E element“).

Závěrem je třeba zdůraznit, že užití metod KM nebo jejich modifikací ještě neznamená, že vyučujeme konstruktivisticky, jak by se mohlo na první pohled zdát. Je důležité dát rámci E-U-R adekvátní obsah, tedy vyučování koncipovat tak, aby respektovalo poznatkový svět žáka a poskytovalo mu dostatek podnětů a příležitostí pro konstruování nových poznatků. Metody KM nemohou tedy vyřešit všechny problémy, s nimiž se v současném matematickém vzdělávání potýkáme, mohou však k tomuto řešení přispět. To, v čem já osobně vidím jejich hlavní přínos, bych mohl vyjádřit slovy aktivita, tvořivost a spolupráce. Všechny tyto aspekty jsou důležité pro rozvoj samostatného a kritického myšlení a předpokladem pro pochopení toho, proč se matematice učíme. Protože smyslem matematiky jako vyučovacího předmětu není stát se znalcem aritmetiky, algebry, geometrie…, ale získat schopnost matematického uvažování, jež je vyšším stupněm myšlení.

Literatura

Čáp, J., Mareš, J.: Psychologie pro učitele. 1. vyd. Praha, Portál 2001. ISBN 80-7178-463-X

Hejný, M., Kuřina, F.: Dítě, škola a matematika: konstruktivistické přístupy k vyučování. 1. vyd. Praha, Portál 2001. ISBN 80-7178-581-4

Košťálová, H.: Efektivní vyučování respektuje přirozené procesy učení. Učím s radostí. Praha, o. s. Kritické myšlení a Step by Step ČR 2003, s. 25–34. ISBN 80-86106-09-8

Steelová, J. L., Meredith, K. S., Temple, C., Walter, S.: Čtením a psaním ke kritickému myšlení: Kritické myšlení napříč osnovami – Příručka I. Praha, o. s. Kritické myšlení 1997.

Vopěnka, P.: Smysl matematiky. In Ausbergerová, M., Novotná, J., Sýkora, V. (ed.): 8. setkání učitelů matematiky všech typů a stupňů škol. Praha, JČMF 2002, s. 35–54. ISBN 80-7015-876-X

Autor je vědecký pracovník MÚ AV ČR a učitel matematiky ZCŠ.

Navigátor
Chci se podívat na:
Chci vyhledat:
Právě se nacházíte na:
homepage KM
Kritické listy

[ukázat mapu celého webu]
Kritické listy
Čteme s porozuměním


E-infosíť
Přihlášení do e-mailové infosítě Vám zaručí zasílání novinek a aktualit přímo na Váš e-mail. (více informací)
jméno:
e-mail:
cislo:
zde napište: 531
 
Je již přihlášeno 2335 lidí.
Projekt ESF
Investice do rozvoje vzdělávání

Ostatní

Licence Creative Commons
Kritické myšlení, jejímž autorem je Kritické myšlení, o.s., podléhá licenci Creative Commons Uveďte autora-Neužívejte dílo komerčně-Nezasahujte do díla 3.0 Česko .
Vytvořeno na základě tohoto díla: www.kritickemysleni.cz