Přetrvávající problém školní matematiky: porozumění pojmům 1)

Milan Hejný

Poznámka

Několik případových studií zaměřených na sledování změn, k nimž došlo v uplynulých deseti letech, ve vyučování matematice na základních školách ukázalo, že situace se nezlepšila. Spíše zhoršila, neboť význam školy je společností podhodnocen a to způsobuje odliv mnoha kvalitních učitelů ze škol.

Cílem článku je povzbudit učitele k experimentování s novými přístupy a nabídnout jim příslušný „know-how“. V první části článku jsou uvedena teoretická východiska, ve druhém pak ilustrace.

Teoretická východiska

V Didaktice veliké napsané před 380 lety uvádí Jan Amos Komenský myšlenku, jejíž závěrečná část může být použita jako motto našich následujících úvah.

Ať tedy platí pravidlo: Kolik kdo rozumí, tolik ať zvyká vysloviti, a naopak, co pronáší, tomu ať se učí rozuměti. Neboť kdo nedovede vyjádřit, co myslí, je jako socha; kdo tlachá, čemu nerozuměl, je jako papoušek. Komenský (1905, s. 222)

Problém papouškování, problém nízkého porozumění matematickým poznatkům patří k hlavním výzvám i pro soudobou didaktiku matematiky. Čtyři staletí leccos změnila, ale podstata problému přetrvává. Anna Sierpinská, která patří k nejuznávanějším světovým znalcům didaktiky matematiky, napsala o problematice porozumění celou knihu. V úvodu knihy klade otázky, jež dnes oslovují všechny, kteří se didaktikou matematiky zabývají:

How to teach so that students understand? Why, in spit of all my effort of good explanation they do not understand and make all these nonsensical errors? What exactly don't they understand? What do they understand and how? A. Sierpinska (1994)

Poznatek bez porozumění budeme nazývat poznatkem formálním. – Formální poznatek vlastně poznatkem není. Je to protéza poznatku. Slovní spojení „formální poznání“ je asi jako „tmavovlasá blondýna“. Přesto budeme toto slovní spojení používat, protože víme, co máme na mysli. Budeme je používat tak, jak používáme spojení „bílá káva“ pro nápoj, který kávou není.

Dělení poznatků na formální (bez porozumění) a neformální (s porozuměním) je jen teoretický nástroj umožňující o tomto jevu mluvit. V reálném životě stěží najdeme tyto krajní polohy. Tam musíme zvažovat míru porozumění daného poznatku uloženého ve vědomí daného člověka.

Na formalismus se díváme jako na kognitivní nemoc. Podobně jako u somatické nemoci můžeme i u formalismu mluvit o nositeli nákazy, vývojových stadiích, diagnostice, anamnéze, terapii i prevenci. Z našich zkušeností víme, že hlavním nositelem nákazy formalismu je prostředí transmisivního vyučování, ve kterém je od žáka žádáno reprodukování pouček a definic napsaných v učebnici a imitování řešitelských postupů demonstrovaných učitelem. Jestliže je navíc autonomní myšlení žáka potlačováno, mění se nemoc formalismu na epidemii.

Vysoké stadium nemoci formalismu – ilustrace

Následující příběh se odehrál již před dvaceti lety, ale stejně dobře se mohl odehrát i včera.

Příběh 1. Iva (5. třída) má dobrou paměť, je spolehlivá a všechny sešity má vzorné. U předchozí učitelky patřila k primusům třídy. Nová učitelka ale žádá od žáků, aby matematice rozuměli.

Učitelka 1: Máme tedy narýsovat tupoúhlý trojúhelník a rozdělit jej na dva pravoúhlé trojúhelníky. Kdo nám řekne, co je to tupoúhlý trojúhelník? Tak Iva.

Iva 1 (přimhouří oči a vychrlí): Trojúhelník, jehož všechny tři úhly jsou tupé, se nazývá tupoúhlý.

U 2: Ivo, tys to trochu uspěchala. Tak víš co, pojď k tabuli a ukaž, které trojúhelníky zde nakreslené jsou tupoúhlé (na tabuli je sedm trojúhelníků, z nich dva jsou tupoúhlé).

I 2 (jde k tabuli a oznamuje): Já to neumím ukázat, umím to pouze říct.

U 3 (překvapena otevřeným přiznáním dívky): Tak víš co, tak mi řekni, co to je tupý úhel.

I 3 (naprosto suverénně): Úhel, který je větší než pravý a menší než přímý, se nazývá tupý.

U 4: A to bys již nakreslit uměla? Myslím ten pravý úhel, přímý úhel a tupý úhel.

I 4 (je vyvedena z míry): Ne, já to umím pouze vysvětlit, ale neumím to kreslit… (spíše sebevědomě než se strachem se ptá) Řekla jsem to snad špatně?

U 5: To o těch úhlech – to bylo dobře, ale to o tupoúhlém trojúhelníku bylo špatně.

I 5 (s pocitem křivdy rychle nalistovala v učebnici text v rámečku): Tady to je: Trojúhelník, jehož všechny tři úhly jsou ostré, je ostroúhlý.

U 6: To je dobře, ale to platí o ostroúhlém trojúhelníku, nikoli o tupoúhlém.

I 6 (uvědomila si chybu, zrudla): Jo, to jsem to spletla. To je tady (hned nalistuje jiný rámeček s vymezením pojmu „tupoúhlý trojúhelník“).

Komentář

O. Příběh 1, jakož i dalších sedm příběhů, pochází z autorova archivu. Je komentovaný v knize Hejný, Kuřina (2001, s. 120). Zde jsou rovněž uvedeny a komentovány příběhy 3 (Fanka), 4 (Filip) a 8 (Ela).

P. Iva říká zapamatovaná slova, ale těm schází odpovídající představy. Pojmy jako tupoúhlý trojúhelník nebo tupý úhel jsou pro ni bezobsažná. Příběh ilustruje dvě kognitivní charakteristiky formálního poznání (1, 2) a dva hlavní předsudky, jež toto poznání provázejí (3, 4):

  1. Poznatek je uchováván v paměti jako izolovaný údaj, v uvedeném případě jako gramatická věta.
  2. Poznatek není propojen s životní zkušeností žáka, Iva nemá představu o použitých slovech.
  3. Žák je přesvědčen, že tento poznatek je plnohodnotný; Iva tvrdí „umím to vysvětlit“.
  4. Žák je přesvědčen, že není schopen porozumět poznatku, Iva to deklaruje ve vstupu I 2.

O. Právě poslední předsudek je signifikantní pro nejvyšší stadium nemoci formalismu. Zde jakékoli doučování je bezcenné. Nejdříve je nutno prolomit předsudek: dát žákyni jednoduchý úkol, například –aby si hrála se čtyřletým bratrem a učila ho z kostek stavět věže; pak s ní o této činnosti diskutovat.

P. Příběh 1 poukazuje na důležitý diagnostický prvek formálního poznání: když ve formálním poznatku dojde k chybě, žák ji není schopen ani odhalit, natož odstranit.

Jak chápeme termín „porozumění“?

Příběh 2. Večeřel jsem chléb s máslem, papriku a rajče a dvouletého syna jsem krmil kaší. Hoch chtěl papriku. Dal jsem ji z jeho dosahu a výstražnou intonací jsem mu řekl: „Paprika pálí, pálí!“ V nestřeženém okamžiku se však hošík papriky zmocnil –a hned s ní do pusy… Překvapení, veliká bolest, pláč a dlouhé ošetřování popálené pusinky. Když jsem asi týden po této události s hochem nakupoval, ukázal na bednu s paprikou a řekl „pájí“.

Dítě je zvídavé. Chce poznávat. Nejen slova, ale i věci. Nejlépe osobní zkušeností. To hoch udělal, aby porozuměl otcovým slovům: „Paprika pálí, pálí!“ Bylo to poznání bolestivé, ale o to hlouběji se zapsalo do vědomí dítěte. Teď již hoch ví, co otcova slova znamenají. Rozumí nejen jednoduchému slovu „paprika“, ale i složitému slovu „pálí“ a ví, že i intonace otcova varování je důležitou informací.

Porozumění pro slovy uchované poznatky (pojmy, vztahy, jevy, situace, stavy nebo procesy) o okolním světě i o světech abstraktnějších představ získává člověk zkušeností. Ne vždy to musí být zkušenost osobní. Když čtu návod na použití pračky, nabývám poznání zprostředkované, které později využiji k správné manipulaci s pračkou. Přitom využívám svých předchozích zkušeností s jinými návody a pomocí nich pak získávám porozumění pro návod právě čtený. Objeví-li se v návodu něco, co nechápu, protože mi zde jistá zkušenost schází, mám na vybranou – bu_ zkusit experimentováním scházející zkušenosti nabýt, nebo se obrátit o radu na někoho zkušeného.

Vymezení. Míru porozumění poznatku uloženého ve vědomí jistého člověka určuje rozsah souboru jeho přímých a zprostředkovaných zkušeností a znalostí, jež daný poznatek propojují na jiné poznatky a představy. Je-li tato míra porozumění nízká, mluvíme o formálním poznatku.

Jak vzniká matematický poznatek s porozuměním?

Příběh 3. Pětiletá Fanka ráda počítá, hlavně s babičkou. Již několikrát spočítala 2 židle a 3 židle, 2 bonbony a 3 bonbony, 2 panenky a 3 panenky apod. Jednou jí babička dala úlohu: Tady pod mojí rukou jsou tři jahody a pod ubrouskem jsou dvě jahody. Kolik je tu dohromady jahod? Dívka jahody neviděla. Chvíli na ubrousek i babiččinu ruku hleděla, bylo vidět, jak úporně uvažuje. Pak k ubrousku dala dva prsty levé ruky a k babiččině ruce tři prsty pravé ruky a prsty spočítala. Radostně zvolala: „Pět, pět.“ Babička dívku velice pochválila. Fance se rozzářila očka ještě víc a řekla: „To pokaždé bude pět. Dvě a tři jako dohromady… to je pět.“

Veliká radost, která provázela počtářský výkon dívky, měla svůj původ v zázraku objevu. Fanka objevila, že při počítání jahod může smysly nedostupné objekty nahradit prsty. Její poslední věta, zejména slovo „pokaždé“, poukazuje na to, že objev překročil hranici dané konkrétní situace. Dívka zřejmě pochopila, že prsty lze použít nejen jako reprezentanta jahod, ale libovolných předmětů.

Příběh ilustruje především základní charakteristiku vzniku poznatku s porozuměním:

Poznatek, který se rodí jako výsledek intelektuálního úsilí člověka, je poznatkem s porozuměním.

Podívejme se blíže na proces, který vedl k objevu. Především nutno vzít v úvahu, že Fanka měla již více zkušeností s počítáním předmětů i hledáním součtů typu „2 panenky a 3 panenky – kolik je to dohromady?“ či „2 prsty a 3 prsty – kolik je to dohromady?“. Pokaždé ale počítala předměty přímo a zatím nepoznala vztah mezi těmito výpočty. Každý takový výpočet, který dívka udělala, byl separovaným modelem příštího abstraktního poznatku 2 + 3 = 5. Pak přišla výzva: duchaplná úloha předložená v povzbudivém klimatu babiččiny přejnosti. Podstatou úlohy byla překážka – Fanka nemohla použít již osvojenou proceduru přímého počítání. Musela překážku nějak překonat. Dívka to moc chtěla. Byla babičkou silně motivována.2)

Pak přišel objev zastupitelnosti nedostupných objektů, jahod, prsty. Ve vědomí Fanky došlo k propojení dvou separovaných modelů: jahod a prstů, došlo k poznání, že jeden z modelů může být nahrazen modelem druhým: jahody mohou být v početní situaci nahrazeny prsty.

Uvedený objev výrazně přesahuje situaci, v níž se zrodil. Nevztahuje se pouze na čísla 2 a 3, protože dívka by stejně postupovala i při jiných číslech. Nevztahuje se ani pouze na záměnu jahod za prsty. Vztahuje se na všechny početní situace na nahrazení jakýchkoliv objektů prsty. Dívka poznala, že prsty mohou v početních situacích sloužit jako univerzální model. Toto poznání výrazně zvyšuje úroveň matematických znalostí a schopností Fanky. Dívka vnímá tuto změnu jako velice libý pocit a odtud vychází její veliká radost.

Jak vzniká formální matematický poznatek?

Příběh 4 . Pětiletý Filip spočítal, že 2 jablíčka a 3 jablíčka je dohromady 5 jablíček. Potom měl zjistit, kolik je dohromady 2 bonbony a 3 bonbony. Když hoch udělal hromádku se dvěma bonbony a chtěl dělat hromádku se třemi bonbony a pak obě hromádky spojit, otec ho přerušil. Ukázal synovi, že je zbytečné počítat to, co již bylo spočítané. Na jablíčkách již zjistili, že 2 + 3 = 5, a tedy totéž musí platit i pro bonbony. A nejen pro ně, ale i pro prsty, židle, autíčka, prostě pro cokoli. Hoch tátovo vysvětlení asi pochopil, ale nadšení z nového poznatku neprojevil.

Poslední dva příběhy ukazují dva různé edukační přístupy. V obou jde o poznatek reprezentace:

Není nutno pracovat s předměty počítanými, lze je nahradit jinými objekty, například prsty.

Způsob, jak se tento poznatek objevil ve vědomí dítěte, je v obou případech výrazně odlišný: Fanka se k němu dopracovala zobecněním svých předchozích zkušeností, vytvořila si jej sama. Filipovi byl poznatek darován, nebo dokonce vnucen.

Až budou Fanka a Filip školáci, budou uvedený poznatek používat oba dva stejně dobře, jako konečně všechny další děti. Je ale dosti pravděpodobné, že Fanka, která při odhalování uvedeného poznatku sama objevila ideu reprezentace, bude později úspěšnější při pochopení jiných procesů reprezentace, třeba když budou konkrétní čísla nahrazována písmeny.

Abstrakce

Příběh 5. V pátém ročníku jsme v rámci propedeutiky pojmu procento řešili více úloh typu: V páté A je 8 děvčat a v páté B je jen 6 děvčat. Ve třídě A 4 dívky chovají doma nějaké zvířátko, ve třídě B 3 dívky chovají doma nějaké zvířátko. Ve které třídě jsou děvčata více chovatelky?3)

Děti poměrně rychle našly odpověď: Obě třídy jsou na tom stejně, protože v každé třídě na jednu dívku připadne půl zvířátka.

Pak následovaly úlohy náročnější.

Například: A: 10ž, 5ch; B: 11ž, 6ch, nebo A: 13ž, 4ch; B: 9ž, 3ch, nebo A: 12ž, 7ch; B: 11ž, 6ch, apod. Pak přišla velice náročná úloha: A: 13ž, 4ch; B: 10ž, 3ch. Zde bylo první řešení nepřesné, i když mělo svoji logiku: Obě třídy jsou na tom stejně, protože když z každé třídy ubude jedna dívka, budou v každé třídě tři dívky na jedno zvířátko.

Někteří žáci s tímto řešením nebyli spokojeni a našli se proti němu silné námitky. Přesto se úlohu dlouho nedařilo vyřešit. Martin tvrdil, že třída B je více chovatelská, ale jeho podivné argumentaci žádný spolužák nerozuměl. Asi po měsíci, když již většina žáků na nevyřešenou úlohu zapomněla, přišel Martin s nádherným nápadem: V Matlandu (bájná země, kde se odehrávají neuvěřitelné věci) je škola, ve které jsou obrovské třídy, v každé je vždy 130 dívek. Ve třídě C je ze 130 dívek 40 chovatelek, ve třídě D je ze 130 dívek 39 chovatelek. Zřejmě je třída C více chovatelská. Třída C je desetinásobkem naší třídy A a třída D je třináctinásobkem naší třídy B. Tedy naše třída B je více chovatelská než naše třída A.

Podstatou Martinova řešení je objev „matlandské třídy“, něčeho, co neodpovídá naší běžné životní zkušenosti, ale co si lze představit. Pomocí tohoto abstraktního pojmu pak bylo možné uchopit porovnání poměrů 13:4 a 10:3, o něž v úloze jde, a úlohu vyřešit.

Myšlenkový proces, který dovedl Martina k objevu, je abstrakce. Martin odhlédl od konkrétních reálií naší školy a s poměry 13:4 a 10:3 pracoval jako s objekty číselné struktury, bez sémantického omezení. Výsledek jeho objevu je abstraktní poznání, jež lze pomocí symbolů algebry zapsat takto: Když chci porovnat poměry x:u a y:v vytvořím si pomocné poměry xy:uy a xy:xv a porovnám získaná čísla uy a xv.

Dodejme, že Martin byl svým objevem dlouho výrazně ovlivněn. Ideu proporce se snažil použít v různých situacích a tím ji propojoval s dřívějšími poznatky. Tento proces nazveme krystalizace. Je to proces, kterým se nové poznání „sžívá“ s existující poznatkovou strukturou člověka. Někdy přitom dochází k výraznějším změnám původní struktury, někdy dokonce k její restrukturalizaci.

Poznávací mechanismus

Popsali jsme jednotlivé části poznávacího mechanismu: procesu vzniku neformálního poznatku. Přehledně můžeme celý mechanismus zapsat jako posloupnost:

motivace › separované modely . univerzální model(y) . abstraktní poznatek › krystalizace

Přitom dvě vnější šipky ( › ) označují proces, který nastává spontánně. Každá ze dvou vnitřních šipek ( . ) představuje myšlenkový krok, jejž je možné a potřebné navodit vhodným edukačním postupem. První vnitřní šipka má charakter zobecnění, druhá má charakter abstrakce. Každý z těchto kroků je rozhodující pro kvalitu výsledného poznatku. Poznatek, jenž se do vědomí člověka dostává jinou cestou, je méněcenný, protože je zatížen formalismem.

Budování pojmu „záporné číslo“ – ilustrace

Pojem záporného čísla je pro žáka základní školy velice náročný. Náročnější než pojem zlomku. Poukazuje na to i historie matematiky. Se zlomky pracovaly již starověké civilizace, ale o legitimitě záporných čísel se mezi matematiky vedly spory ještě v polovině 18. století4), tedy v době, kdy již diferenciální počet byl značně rozpracován. Proto se nelze divit, když žák šestého ročníku nedovede s těmito objekty zacházet s porozuměním.

V přípravě na experimentální vyučování (v letech 1984–1986 jsem učil jednu třídu ve třetím až šestém ročníku) jsem hledal cesty, jak i slabším žákům pomoct vytvořit si představu o záporných číslech.

Úvahy mne dovedly k rozhodnutí:

  1. trpělivě budovat různé separované modely záporných čísel již od třetího ročníku;
  2. vést žáky k opakovanému objevování záporných čísel, a to jak rozšiřování aritmetické struktury přirozených čísel, tak i v oblasti sémantické;
  3. soustavně využívat rozdílné názory jednotlivých žáků k vyvolání a vedení třídní diskuse; její klima musí být laděno tak, aby k aktivitě povzbuzovalo zejména slabší žáky.

V sémantické oblasti jsem našel jen čtyři typy separovaných modelů: stupnice (např.: teploměr ukazoval 5 °C), výtah (když chci do sklepa, musím stlačit tlačítko -1), v mapě oceánu (vrstevnice mořského dna), ve financích („…mám dluh 100 Kč“ je totéž jako „…mám -100 Kč“). Přitom poslední model je problematický, protože dětem připadá násilný a nepochopitelný.

V aritmetice se k zápornému číslu dostáváme buď počítáním pozpátku: 4, 3, 2, 1, 0, -1, -2, …, nebo odčítáním většího čísla od menšího. Kupříkladu odčítáním 3 – 5 dostáváme číslo -2. Důležitá modifikace takového odčítání je zdánlivě nesmyslná úloha: Kolik musím přidat k 5, abych obdržel 3? Zdá se skoro nemožné, aby ideu záporného čísla žáci sami objevili. A přece – jestliže chci, aby tento náročný pojem vstoupil do vědomí třídy v konstruktivistickém hávu, musím najít problémovou situaci, která k jeho objevu přivede alespoň jednoho žáka. Od něj to pak další převezmou informační osmózou. Z několika úspěšně realizovaných situací uvedeme čtyři, jež jsou pro potřeby tohoto článku mírně upraveny.

Příběh 6 . (3. ročník, prosinec) Zahrál jsem si na jasnovidce. Na tabuli jsem napsal: Přidej 2, uber 7, přidej 10. Pak jsem vyzval žáky, aby si každý myslel trojmístné číslo a udělal s ním tři operace napsané na tabuli. Například – když si budu myslet číslo 156, přidám 2, dostanu 158, uberu 7, dostanu 151, přidám 10, dostanu 161. Když byli žáci s počítáním hotovi, zeptal jsem se Evy, jaké číslo jí vyšlo. Eva odpověděla, že 177. Řekl jsem, že si myslela 172. Pak jsem jasnovidecký trik zopakoval s dalšími dvěma žáky. Jarda a v zápětí Katka křičeli, že to kouzlo taky umí. Oba správně řekli, že když výsledné číslo je 511, tak myšlené číslo bylo 506, a když je výsledné číslo 105, tak myšlené číslo bylo 100. To už další děti křičely, že ví, jak to je, a Milan řekl: „…to se jen odečte 5.“

Zeptal jsem se, zda Milanovo pravidlo platí i pro čísla dvoumístná a čtyřmístná. Děti rychle dospěly ke kladné odpovědi. Zazvonilo a ještě po zvonění jsem se s tajuplnou intonací třídy optal, zda pravidlo platí i pro jednomístná čísla. Děti volaly, že ano, já to nekomentoval a odešel jsem.

Následující den Andrea řekla, že to doma udělala pro všechna jednomístná čísla a pro čísla 1, 2, 3 a 4 se to nedá udělat. Na moje požádání ukázala, proč to nejde pro číslo 3. Řekla: „Když přidám dvě, dostanu pět, a mám ubrat sedm, ale to nemohu.“ Honza řekl: „Když ubereš sedm, bude to minus dvě!“ Honzova moudrost, zřejmě převzatá od staršího bratra, mne překvapila a zaskočila. Naštěstí Andrea žádné „minus dvě“ nepřipustila a rozpoutala se debata. Dan se přidal na stranu Honzy, ale většina dětí souhlasila s Andreou. Ta žádala Honzu: „…ukaž mi těch minus dvě.“ To Honza neuměl. Žádná další důležitá myšlenka se již neobjevila. Spor na jeden rok usnul. V té době jsme na záporné číslo narazili ještě vícekrát a pokaždé jsme si připomněli Honzův objev. Asi nejblíže k řešení úlohy Andrey byly děti, když jsme řešili úlohu: V poledne bylo +7 °C a k večeru poklesla teplota o 10 °C. Kolik stupňů ukazoval teploměr navečer? Ani tentokrát však záporné číslo nebylo žáky uznáno jako „skutečné číslo“. Číslo -3 na teploměru chápali jako šifru pro 3 stupně zimy.

Na začátku čtvrtého ročníku přišel Honza s tím, že umí ukázat, jak to je, …když se jde dolu do minusu. Odvolal se na příběh „Pátrači“, který tenkrát znaly všechny děti asi tak dobře, jak dnes znají Harryho Pottera. V jedné epizodě se pátrači prodírali podzemní chodbou, která někdy stoupala a někdy klesala. Honza namaloval, jak se jeho pátrač v podzemní chodbě pohyboval: nejprve 2 schody nahoru, pak 7 schodů dolů a pak 10 schodů nahoru. Poukazem na svůj obrázek vysvětloval, že východ z podzemní chodby je pokaždé o 5 schodů výše, než je jeho vstup.

Sugesce známého příběhu udělala své a Honza získal pro uznání „minusových“ čísel další spolužáky. Ale žádný z nich nedokázal odpovědět na otázku Andrey, kterou učitel připomněl: „Ukaž, kolik to je těch minus dvě?“ Přes tento nedostatek, pro Honzu a jistě i několik dalších žáků, byla podzemní chodba separovaným modelem, na němž lze sestoupit k číslům menším než nula.

Příběh 7. (3. a 4. ročník) Jako přípravu na úlohy o věku jsme si již ve třetím ročníku hrávali na Chrona: Na podlahu se nakreslí časová osa, čísla 1, 2, …, 19, 20 a přistoupí se k řešení úloh. Například: Adamovi jsou 3 roky, Bětce je 5. Za kolik let jim společně bude 20? K řešení použijeme dramatizace. Na číselnou osu se postaví dva žáci: „Adam“ na číslo 3, „Bětka“ na číslo 5. Žák, který hraje boha času Chrona, zavelí: „Uplynul jeden rok, teď.“ Na povel oba žáci udělají na číselné ose jeden krok vpřed. Adam teď stojí na čísle 4, Bětka na 6. Žák, jenž dělá hlásného, oznámí čtyři a šest je deset, Adam s Bětkou mají teď spolu deset let. Chronos opět zavelí a děti postoupí na značky 5 a 7, hlásný oznámí součet 12. Hra pokračuje, až Adam stane na čísle 9 a Bětka na 11. Teď hlásný oznámí: „Adam s Bětkou mají teď spolu dvacet let.“ Máme řešení.

Podobnou hru jsme ve třetím ročníku hráli asi pětkrát. Představení se zřídka odehrálo celé. Již po prvních dvou, třech krocích žáci křičeli výsledek. Ten jsme pak pouze prověřili.

V září ve čtvrtém ročníku jsme řešili tuto úlohu: Dvojčatům Petrovi a Pavlovi je 5 let a jejich sestře Radce je 11. Před kolika lety bylo všem třem dohromady: a) 15 let, b) 6 let, c) 3 roky? Při řešení této úlohy se po časové ose kráčelo pozpátku, do minulosti. Dva kroky pozpátku a byla vyřešena část a). Část b) vyvolala ve třídě veselí, když děti zjistily, že dvojčatům bylo 0 let, tedy že se právě narodila. Pak se ale rozvinula hádka o řešení části c). Dan, který hrál jedno z dvojčat, prodloužil časovou osu dozadu o čísla -1 a -2. Většina dětí tomu nerozuměla, nebo byla proti. Dan tvrdil, že jeho rodiče již 2 roky před jeho narozením věděli, že on se bude jmenovat Dan. Třída ale odmítla mluvit o věku toho, kdo se ještě nenarodil. Na druhé straně děti připustily, že když si Maruščina maminka povzdechla: „…dnes by měl praděda Arnošt sto let“ – tak je to v pořádku, protože ten praděda doopravdy žil. Debata byla intenzivní a trvala půl hodiny. Děti též ale připustily – a to jsem považoval za veliký úspěch Dana –, že číslo -2 na časové ose může být a znamená „dva roky před narozením“.

Příběh 8. (5. ročník) Záporná čísla, jako prodloužení přirozených čísel směrem dolů, byla již všemi žáky akceptována. Problémy byly se sémantickým uznáním těchto čísel. Průlom způsobil příběh prvačky Ely, který jsem vyprávěl třídě v listopadu. Ela slyšela mámu, jak na tátův dotaz, kolik má peněz, odpověděla: „…minus dvě stě. Mám tu stovku, ale za telefon zaplatím tři sta korun.“ Ela zvolala: „Máš ne dvě stě korun…“ a měla velikou radost, protože pochopila slovo minus. Dvěma žákům se nápad Ely zalíbil a ve vzájemné komunikaci provokativně používali slovo minus ve smyslu negace. Místo: „Dlužím ti 10 Kč…“ řekli: „Dlužíš mi minus deset korun…“, nebo namísto: „O 1 gól jsme prohráli…“ řekli: „Vyhráli jsme o minus jeden gól…“ apod. Velice rychle se tento způsob vyjadřování rozšířil na další žáky. Ze začátku někteří žáci formulovali nepřesné až nesmyslné věty. Například moje konstatování: „Třídní kniha zde není…“, přeformulovala jedna dívenka jako: „Zde je minus třídní kniha.“ Během měsíce se však používání slova minus stalo jasné pro skoro všechny žáky. Ujistila mne o tom slabší žačka, která mi vypravovala, jak dědovi vysvětlila, že když řekl: „Je minus 5°C pod nulou…“, řekl tím, že: „Je 5°C nad nulou.“ Dívka dodala, že děda to stejně nepochopil.

Příběh 9. (6. ročník) Záporná čísla byla již žáky přijata. K manipulaci s nimi jsme užívali figurku Puka, který při výpočtech typu 5 + 3 = ?, 5 – 3 = ?, 5 + -3 = ? a 5 – -3 = ? chodil po číselné ose podle následujících pravidel.

První číslo (u nás je to číslo 5) určuje výchozí pozici; Puk se tedy postaví na +5 tváří k číslu +6;

když následovalo znaménko „–“ (odčítání), Puk udělal „čelem vzad“;

když následovalo znaménko „+“ (sčítání), Puk zůstal stát;

druhé číslo určuje počet a směr kroků, jež Puk udělá; číslo 3 znamená, že Puk udělá tři kroky vpřed; číslo -3 znamená, že Puk udělá tři kroky vzad (3 račí kroky neboli -3 kroky).

Například výpočet 5 – -3 = 8 probíhá takto: Puk se postaví na číslo 5, udělá „čelem vzad“ a stojí tváří k číslu 2. Pak udělá tři kroky dozadu a ocitne se na čísle 8.

Čtyři uvedené ilustrace pouze naznačily možnosti konstruktivistického přístupu k pojmu „záporné číslo“. Čtenáři, který se pokusí o vlastní experimenty, přejeme mnoho úspěchů a předpovídáme mnohá zklamání a rozčarování, ale též neopakovatelné chvíle radosti z naprosto neočekávaného výkonu některých žáků.

Literatura

Hejný, M., Kuřina, F.: Dítě, škola a matematika. Praha, Portál 2001. Kline, M.: Mathematics, The Loss of Certainty. New York, Oxford University Press 1980. (Ruský překlad: Klajn, M.: Matematika, Utrata opredelennosti. Moskva, Mir 1984.) Sierpinska, A.: Understanding in Mathematics. London, Washington, D. C., The Falmer Press 1994.

Poznámky

1) Studie vznikla s podporou grantového projektu – vz j 13/93/114100002.

2) Na motivaci se díváme jako na tenzi vzniklou rozporem mezi „nevím“ a „chtěl bych znát“.

3) Takovou úlohu zapíšeme symbolicky A: 8ž, 4ch; B: 6ž, 3ch.

(ž = žákyně, ch = chovatelky)

4) Viz například M. Kline (1980), kapitola 5.

Autor je profesor matematiky na UK.

Navigátor
Chci se podívat na:
Chci vyhledat:
Právě se nacházíte na:
homepage KM
Kritické listy

[ukázat mapu celého webu]
Kritické listy
Čteme s porozuměním


E-infosíť
Přihlášení do e-mailové infosítě Vám zaručí zasílání novinek a aktualit přímo na Váš e-mail. (více informací)
jméno:
e-mail:
cislo:
zde napište: 531
 
Je již přihlášeno 2336 lidí.
Projekt ESF
Investice do rozvoje vzdělávání

Ostatní

Licence Creative Commons
Kritické myšlení, jejímž autorem je Kritické myšlení, o.s., podléhá licenci Creative Commons Uveďte autora-Neužívejte dílo komerčně-Nezasahujte do díla 3.0 Česko .
Vytvořeno na základě tohoto díla: www.kritickemysleni.cz